Equação Biquadrada

Explicação:

Algumas equações têm cara  de ser de quarto grau, mas podem ser resolvidas pelas mesmas formas que utilizamos para resolver as equações do segundo grau . São as equações biquadradas, tipo de equação em que aparecem a incógnita X aparece elevada ao quadrado e à quarta potência .

é  escrita  na  forma  (ax²)² + bx² + c = 0  com   a ≠ 0

Como resolver equações biquadradas:

y⁴ – 10y² + 9 = 0 → equação biquadrada 

(y²)² – 10y² + 9 = 0 → também pode ser escrita assim. 

Substituindo variáveis: Y² = x, isso significa que onde for y² iremos colocar x. 

x² – 10x + 9 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x` e x`` 

a = 1    b = -10     c = 9 

∆ = b² – 4ac 
∆ = (-10)² – 4 . 1 . 9 
∆ = 100 – 36 
∆ = 64 

x = - b ± √∆             2a 

x = -(-10) ± √64 
             2 . 1 

x = 10 ± 8 
           2 

x’ = 9

x” = 1 

Essas são as raízes da equação x² – 10x + 9 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada y⁴– 10y2 + 9 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em  Y² = x

Para x = 9 
y² = x 
y² = 9 
y = √9 
y = ± 3 

Para x = 1 
y² = x 
y² = 1 
y = √1 
y = ±1 

Portanto, a solução da equação biquadrada será: 

S = {-3, -1, 1, 3}.

atividades  de  equações biquadradas

(x²)² - 16 = 0 

resposta  : x=2 ou x= -2

16x²=40x² - 9

resposta  : X= 3/2 ,X=-3/2 , X=1/2 , X=-1/2  

 (x²)² - x² = 0

resposta: x =1 , x = -1  ou x  = 0

Soma e Produto das Raízes

Explicação:


 Em alguns exercícios é pedido que se ache o valor da SOMA ou PRODUTO das raízes de uma função do segundo grau.

Uma maneira seria aplicar Bhaskara, achar as duas e somá-las ou multiplicá-las, mas existe um método mais rápido. Veja só!

Ex :ax²-bx-2

 a = 1 b = 1 c = 2
soma: 

s = -b/a

Produto :

P = c/a

exemplo 2x²+8x+4=0                                                                                                                                                             

soma:-b/a

-8/2

s= -4

produto: c/a 

4/2

p= 2

atividades  com resposrta:

2x²-4x-16
resposta  da  soma : (2)


resposta do  produto :   (-8)






    2x²+8x


soma:      (-4)


produto:  (0) 




4x²-24+36


soma:(6)


produto (9)

Equação Irracionais

Explicação:

Equação irracional é  uma  equação em  que  tem  incógnita em um ou mais radicais.

Resolvendo uma  equação irracional:

1° Isolamos um dos radicais em um dos membros da equação dada.

2°Elevamos um dos dois membros da equação a um expoente adequado.

3°Se ainda restar um ou mais radicais, repetimos as operações anteriores.

4^°. Resolvemos a equação obtida.

5°verificar  

√3x+1=√x+4+1

(√3x+1)²= (√x+4+1)²

3x+1=x+4+2 √x+4+1

2x-4= 2√x+4+1

(x-2)²= (√x+4)²

x²-4x+4=x+4

x²-5 = 0

x'=0 

x''=5

Verificação

para x = 0 √3.0+1 - √0+4 = 1 => 1 - 2 =-1 (F)

para x = 5 √3.5+1 - √5+4 = 1 => 4 -3 =1 (V)

Atividades  de  equação irracional com resposta

√x-2 = 3

resposta  certa  é x =11

√x+2 = 2

resposta  certa  é x = 2

√2x - 5 = 3

resposta  certa  é x = 7

Equação do 2º grau

Explicação:

Para resolver é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau. Isso ocorre através de uma transformação e substituição de incógnitas.

Ex:

4x ⁴ – 17x² + 4 = 0 → equação biquadrada

4(x ²)2 – 17x² + 4 = 0 → também pode ser escrita assim.

Substituindo: x ² = y, isso significa que onde for x² iremos colocar y.

4y ² – 17y + 4 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x’ e x”.

a = 4 b = -17 c = 4

∆ = b ² – 4ac
∆ = (-17)² – 4 . 4 . 4
∆ = 289 - 64
∆ = 225

x =  - b ± √∆
           2a

x =  -(-17) ± √225
                2 . 4

x =  17 ± 15             8

x’ =  17 + 15 = 32 : 8 = 4
              8

x” =  17 – 15 = 2 = 1
              8         8    4

Essas são as raízes da equação 4y ² – 17y + 4 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada
4x⁴ – 17x²  + 4 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em 
x² = y.

Para x = 4
x ² = y
x² = 4
x = √4
x = +/- 4

Para x =  1 
                4
x² = y
x² = 1
        4

y =  +/-1
         2

A soluçao será:

S = {-2, - 1, 1, 2}.
                2  2


Atividades com gabarito


Calcule  as  equações  completas

x² + 5x + 6 = 0

A  resposta  é  -2 e  -3

15x² - x + 2 = 0

A  resposta  é - 1/3  e  2/5

4x² - 20x + 9 = 0

A resposta  é  9/2  1/2